零知識證明編程——用Circom、Grot...

零知識證明編程——用Circom、Groth16構建證明及驗證

2024-09-04 09:32 登鏈社區

來源：登鏈社區

爲工作程序員提供的 ZKP 教程介紹。

你知道爲什么斑馬有條紋嗎？一種理論是這是一種僞裝。當斑馬聚集在一起時，這使得獅子更難以區分它們的獵物。獅子必須將獵物從群體中隔離出來才能追捕它[^1]。

人類也喜歡在人群中隱藏。一個具體的例子是，當多個人在一個集體名稱下作爲一個整體行動時。《聯邦黨人文集》就是這樣創作的[^2]。另一個例子是 Bourbaki，這是 1930 年代一群法國數學家的集體筆名。這導致了現代數學大部分內容的徹底重寫，重點在於嚴謹性和公理化方法[^3]。

在數字時代，假設你在一個群聊中，想要發送一條有爭議的信息。你想證明你是其中的一員，而不透露是哪一位。我們如何在數字領域使用密碼學來做到這一點？我們可以使用一種叫做 群籤名 的東西。

從傳統上講，群籤名在數學上相當復雜且難以實現。然而，使用零知識證明（ZKP），這個數學問題變成了一個簡單的編程任務。在本文結束時，你將能夠自己編寫群籤名。

介紹

這篇文章將向你展示如何從零开始編寫基本的零知識證明（ZKP）。

在學習新的技術棧時，我們希望盡快掌握編輯-構建-運行的循環。只有這樣，我們才能开始從自己的經驗中學習。

我們將首先讓你設置環境，編寫一個簡單的程序，執行所謂的可信設置，然後盡快生成和驗證證明。之後，我們將識別一些改進我們程序的方法，實施這些改進並進行測試。在此過程中，我們將建立一個更好的心理模型，以便在實踐中編程 ZKP。最後，你將熟悉（某種方式）從零开始編寫 ZKP。

我們將逐步構建一個簡單的籤名方案，你可以證明你發送了特定的消息。你將能夠理解這段代碼的作用及其原因：

    # 克隆倉庫並運行准備腳本
    git clone git@github.com:oskarth/zkintro-tutorial.git
    cd zkintro-tutorial
    
    # 在執行之前瀏覽此文件的內容
    less ./scripts/prepare.sh
    ./scripts/prepare.sh

我們建議你瀏覽 ./scripts/prepare.sh 的內容，以查看這將安裝什么，或者如果你更喜歡手動安裝。執行後，你應該看到 Installation complete 並且沒有錯誤。

如果你遇到問題，請查看最新的官方文檔這裏^[7]。完成後，你應該安裝以下版本（或更高版本）：

    pragma circom 2.0.0;
    
    template Multiplier2 () {
      signal input a;
      signal input b;
      signal output c;
      c <== a * b;
    }
    
    component main = Multiplier2();

這就是我們的特殊程序或 _電路_。 [^6] 按行分析：

pragma circom 2.0.0; - 定義所使用的 Circom 版本
template Multiplier() - 模板是大多數編程語言中對象的等價物，是一種常見的抽象形式
signal input a; - 我們的第一個輸入，a；輸入默認是私有的
signal input b; - 我們的第二個輸入，b；同樣默認是私有的
signal output b; - 我們的輸出，c；輸出始終是公共的
c <== a * b; - 這做了兩件事：將信號 c 賦值並約束 c 等於 a 和 b 的乘積
component main = Multiplier2() - 實例化我們的主組件

最重要的行是 c <== a * b;。這是我們實際聲明約束的地方。這個表達式實際上是兩個的組合：<--（賦值）和 ===（等式約束）。 [^7] Circom 中的約束只能使用涉及常量、加法或乘法的操作。它強制要求方程的兩邊必須相等。 [^8]

關於約束

約束是如何工作的？在類似數獨的上下文中，我們可能會說一個約束是“一個介於 1 和 9 之間的數字”。然而，在 Circom 的上下文中，這不是一個單一的約束，而是我們必須使用一組更簡單的等式約束（===）來表達的東西。 [^9]

爲什么會這樣？這與底層的數學原理有關。從根本上講，大多數 ZKP 使用 _算術電路_，它表示對 多項式 的計算。在處理多項式時，你可以輕松引入常量，將它們相加、相乘並檢查它們是否相等。 [^10] 其他操作必須用這些基本操作來表達。你不必詳細了解這一點才能編寫 ZKP，但了解底層發生的事情可能會很有用。 [^11]

我們可以將電路可視化如下：

構建我們的電路

供你參考，最終文件可以在 example1-solution.circom 中找到。有關語法的更多詳細信息，請參見官方文檔^[9]。

我們可以通過運行以下命令來編譯我們的電路：

這是調用 circom 創建 example1.r1cs 和 example1.wasm 文件的一個簡單包裝。你應該會看到類似以下內容：

    {
      "pi_a": ["15932[...]3948", "66284[...]7222", "1"],
      "pi_b": [
        ["17667[...]0525", "13094[...]1600"],
        ["12020[...]5738", "10182[...]7650"],
        ["1", "0"]
      ],
      "pi_c": ["18501[...]3969", "13175[...]3552", "1"],
      "protocol": "groth16",
      "curve": "bn128"
    }

這以一些數學對象（三個橢圓曲线元素）pi_a、pi_b 和 pi_c 的形式指定了證明。[^20] 它還包括有關協議（groth16）和使用的 _curve_（bn128，我們暫時忽略的數學實現細節）的元數據。這使得驗證者知道如何處理此證明以正確驗證。

請注意，證明是多么簡短；無論我們的特殊程序多么復雜，它的大小都只有這個。這展示了我們在 _友好的零知識證明介紹_^[10] 中討論的 ZKP 的 succinctness 屬性。上述命令還輸出了我們的 _公共輸出_：

這是與我們的見證和電路對應的所有公共輸出的列表。在這種情況下，有一個公共輸出對應於 c：33。[^21]

我們證明了什么？我們知道兩個祕密值 a 和 b，它們的乘積是 33。這展示了我們在上一篇文章中討論的隱私屬性。

請注意，證明在孤立狀態下沒有用，它需要隨之而來的公共輸出。

驗證證明

接下來，讓我們驗證這個證明。運行：

just verify_proof example1

這需要驗證密鑰、公共輸出和證明。通過這些，我們能夠驗證證明。它應該打印“證明已驗證”。請注意，驗證者從未接觸到任何私有輸入。

如果我們更改輸出會發生什么？打开 example1/target/public.json，將 33 更改爲 34，然後再次運行上述命令。

你會注意到證明不再被驗證。這是因爲我們的證明並沒有證明我們有兩個數字，其乘積是 34。

恭喜你，你現在已經編寫了你的第一個 ZKP 程序，進行了可信設置，生成了證明並最終驗證了它！

練習

ZKP 的兩個關鍵屬性是什么，它們意味着什么？
證明者的角色是什么，她需要什么輸入？驗證者呢？
解釋 c <== a * b; 這一行的作用。
爲什么我們需要進行可信設置？我們如何使用其產物？
代碼：完成 example1，直到你生成並驗證了一個證明。

第二次迭代

通過上述電路，我們證明了我們知道兩個（祕密）數字的乘積。這與 質因數分解 問題密切相關，這是許多密碼學的基礎。[^22] 這個想法是，如果你有一個非常大的數字，找到兩個質數使其乘積等於這個大數字是很困難的。相反，檢查兩個數字的乘積是否等於另一個數字是非常簡單的。[^23]

然而，我們的電路存在一個大問題。你能看到嗎？

我們可以輕松地將輸入更改爲“1”和“33”。也就是說，一個數字 c 始終是 1 和 c 的乘積。這一點並不令人印象深刻，對吧？

我們想要做的是添加另一個 _約束_，使得 a 或 b 不能等於 1。這樣，我們就被迫進行適當的整數因式分解。

我們如何添加這個約束，需要做哪些更改？

更新我們的電路

我們將爲這些更改使用 example2 文件夾。不幸的是，我們不能僅僅寫 a !== 1，因爲這不是一個有效的約束。[^24] 它不是由常量、加法、乘法和等式檢查組成的。我們如何表達“某物不是”？

這並不是立即直觀的，這種類型的問題是編寫電路的藝術所在。發展這種技能需要時間，並超出了本初始教程的範圍；幸運的是，有許多好的資源可以參考。[^25]

不過，有一些常見的習語。基本的想法是使用 IsZero() 模板來檢查一個表達式是否等於零。它對真值輸出 1，對假值輸出 0。

使用真值表[^26] 來顯示可能的值通常是有幫助的。以下是 IsZero() 的真值表：

這是一個如此有用的構建塊，以至於它被包含在 Circom 的庫 circomlib 中。在 circomlib 中還有許多其他有用的組件。[^27]

我們可以通過創建一個 npm 項目（JavaScript）並將其作爲依賴項添加來包含它。在 example2 文件夾中，我們已經爲你完成了這一步。要導入相關模塊，我們在 example2.circom 的頂部添加以下行：

include "circomlib/circuits/comparators.circom";

使用 IsZero()，我們可以檢查 a 或 b 是否等於 1。修改 example2.circom 文件，使其包含以下行：

    just generate_proof example2
    just verify_proof example2

它仍然按預期生成和驗證證明。

如果我們將 example2/input.json 的輸入更改爲 1 和 33 並嘗試運行上述命令，我們將看到一個斷言錯誤。也就是說，Circom 甚至不會讓我們生成證明，因爲輸入違反了我們的約束。

完整流程圖

現在我們已經經歷了整個流程兩次，讓我們退後一步，看看所有部分是如何結合在一起的。

希望事情开始變得有些明朗。接下來，讓我們提升一下，讓我們的電路更有用。

練習

爲什么我們必須運行 example2 的第 2 階段，而不是第 1 階段？
上一個例子的主要問題是什么，我們是如何解決的？
代碼：完成 example2，直到你無法生成證明。

第三次迭代

通過上述電路，我們已經證明了我們知道兩個祕密值的乘積。單靠這一點並不是很有用。在現實世界中，有用的是 _數字籤名方案_。通過它，你可以向其他人證明你寫了特定的消息。我們如何使用 ZKP 來實現這一點？要實現這一點，我們必須首先涵蓋一些基本概念。

現在是短暫休息的好時機，去喝一杯你最喜歡的飲料。

數字籤名

數字籤名已經存在，並且在我們的數字時代無處不在。現代互聯網沒有它們是無法運作的。通常，這些是使用 公鑰密碼學 實現的。在公鑰密碼學中，你有一個私鑰和一個公鑰。私鑰僅供你自己使用，而公鑰是公开共享的，代表你的身份。

數字籤名方案由以下部分組成：

密鑰生成：生成一個私鑰和相應的公鑰
籤名：使用私鑰和消息創建籤名
籤名驗證：驗證消息是否由相應的公鑰籤名

雖然具體細節看起來不同，但我們編寫的程序和上述密鑰生成算法共享一個共同元素：它們都使用 _單向函數_，更具體地說是 _陷門函數_。陷門是容易掉進去但難以爬出來的東西（除非你能找到一把隱藏的梯子） [^30]。

對於公鑰密碼學，從私鑰構造公鑰是容易的，但反過來卻非常困難。我們的前一個程序也是如此。如果這兩個祕密數字是非常大的質數，那么將該乘積轉回原始值是非常困難的。現代公鑰密碼學通常在底層使用 _橢圓曲线密碼學_。

傳統上，創建像這些數字籤名方案這樣的密碼協議需要大量的工作，並需要提出一個涉及一些巧妙數學的特定協議。我們不想這樣做。相反，我們想使用 ZKP 編寫一個程序，以實現相同的結果。

而不是這樣：[^31]

我們只想編寫一個程序，生成我們想要的證明，然後驗證這個證明。

哈希函數和承諾

我們將使用兩個更簡單的工具：_哈希函數_ 和 _承諾_，而不是使用橢圓曲线密碼學。

哈希函數也是一種單向函數。例如，在命令行中，我們可以這樣使用 SHA-256 哈希函數：

    commitment = hash(some_secret)
    signature = hash(some_secret, message)

此時你可能有一些問題。讓我們解決一些你腦海中可能存在的問題。

首先，爲什么這有效，我們爲什么需要 ZKP？當有人驗證證明時，他們只能訪問承諾、消息和籤名。沒有直接的方法可以驗證承諾是否對應於祕密，而不揭示祕密。在這種情況下，我們只是在生成證明時“揭示”祕密，因此我們的祕密保持安全。

其次，爲什么在 ZKP 內部使用這些哈希函數和承諾，而不是公鑰密碼學？你絕對可以在 ZKP 內部使用公鑰密碼學，並且這樣做是有合理理由的。就約束而言，它的實現成本遠高於上述方案。這使得它比上述更慢，更復雜。正如我們將在下一節中看到的，哈希函數的選擇非常重要。

最後，爲什么在我們已經擁有公鑰密碼學的情況下還要使用 ZKP？在這個簡單的例子中，沒有必要使用 ZKP。然而，它作爲更有趣的應用的構建塊，例如本文开頭提到的群籤名示例。畢竟，我們想要 _編程密碼學_。

這真是太多了！幸運的是，我們已經過了難關。讓我們开始編碼吧。如果你一开始沒有完全理解上述內容，也不用擔心。習慣這種推理方式需要一些時間。

回到代碼

我們將從 example3 目錄开始工作。

要實現數字籤名，我們需要做的第一件事是生成我們的密鑰。這些對應於公鑰密碼學中的私鑰和公鑰。由於密鑰對應於一個身份（你，證明者），我們將分別稱其爲 identity_secret 和 identity_commitment。它們共同形成一個身份對。

這些將作爲電路的輸入，與我們要籤名的消息一起使用。作爲公共輸出，我們將擁有籤名、承諾和消息。這將允許某人驗證籤名確實是正確的。

由於我們需要身份對作爲電路的輸入，因此我們將單獨生成這些：just generate_identity

這會產生類似於以下內容：

    include "circomlib/circuits/poseidon.circom";

Poseidon 哈希模板的使用如下：

    component main {public [identity_commitment, message]} = SignMessage();

默認情況下，我們電路的所有輸入都是私有的。通過這個，我們明確標記 identity_commitment 和 message 爲公共。這意味着它們將成爲公共輸出的一部分。

有了這些信息，你應該有足夠的知識來完成 example3.circom 電路。如果你仍然卡住，可以參考 example3-solution.circom 獲取完整代碼。

像之前一樣，我們必須構建電路並運行受信任設置的第 2 階段：

    {
      "identity_secret": "21879[...]1709",
      "identity_commitment": "48269[...]7915",
      "message": "42"
    }

隨意將身份對更改爲你自己使用 just generate_identity 生成的身份對。畢竟，你想把身份祕密保留給自己！

你可能會注意到消息只是一個作爲字符串引用的數字 ("42")。不幸的是，由於約束在數學上的工作方式（使用线性代數和 _算術電路_），我們只能使用數字而不能使用字符串。電路內部支持的唯一操作是基本的算術操作，如加法和乘法。[^37]

我們現在可以生成和驗證一個證明：

    ["48968[...]5499", "48269[...]7915", "42"]

這分別對應於籤名、承諾和消息。

讓我們看看如果我們不小心，事情可能會出錯。 [^38]

首先，如果我們將身份承諾更改爲 input.json 中的隨機內容，會發生什么？你會注意到我們無法再生成證明。這是因爲我們還在電路內部檢查身份承諾。保持身份祕密和承諾之間的關系至關重要。

其次，如果我們不將消息包含在輸出中，會發生什么？我們確實得到了一個證明，並且它得到了驗證。但消息可以是 _任何東西_，因此它實際上並不能證明你發送了特定的消息。類似地，如果我們不將身份承諾包含在公共輸出中，會發生什么？這意味着身份承諾可以是任何東西，因此我們實際上不知道誰籤署了消息。

作爲思考練習，想想如果我們省略這兩個關鍵約束中的任何一個會發生什么：

identity_commitment === identityHasher.out
signature <== signatureHasher.out

恭喜你，現在你知道如何編程加密了！[^39]

練習

數字籤名方案的三個組成部分是什么？
使用像 Poseidon 這樣的 "ZK-Friendly hash function" 的目的是什么？
什么是承諾？我們如何將它們用於數字籤名方案？
爲什么我們將身份承諾和消息標記爲公共？
爲什么我們需要身份承諾和籤名約束？
代碼：完成 example3，直到你生成並驗證了一個證明。

下一步

通過上述數字籤名方案，以及我們在文章中看到的一些技巧，你擁有了實現文章开頭提到的 群籤名方案 的所有工具。[^40]

在 example4 中存在骨架代碼。你只需要 5-10 行代碼。唯一的新語法是 for 循環，它的工作方式與大多數其他語言相同。[^41]。

這個電路將允許你：

籤署一條消息
證明你是三個人之一（身份承諾）
但不透露是哪一個

你可以把它看作一個謎題。關鍵的見解基本上歸結爲一個算術表達式。如果可以的話，嘗試在紙上解決它。如果你卡住了，可以像之前一樣查看解決方案。

最後，如果你想要一些額外的挑战，這裏有一些擴展的方法：

允許組內任意多的人
實現一個新的電路 reveal，證明你籤署了特定的消息
實現一個新的電路 deny，證明你沒有籤署特定的消息

使用經典工具創建這樣的加密協議將是一項巨大的任務，需要大量的專業知識。[^42] 使用 ZKP，你可以在一個下午變得高效和危險，將這些問題視爲編程任務。這只是我們可以做的冰山一角。

練習

群籤名與普通籤名有什么不同？它們可以如何使用？

問題

這些問題是可選的，需要更多的努力。

找出 IsZero() 是如何實現的。
代碼：完成上述群籤名方案（見 example4）。
代碼：擴展上述群籤名示例：允許更多人並實現 reveal 和/或 deny 電路。
你將如何設計一個 "ZK 身份" 系統來證明你已滿 18 歲？你可能想證明的其他屬性是什么？從高層次來看，你將如何實現它，以及你看到的挑战是什么？研究現有解決方案以更好地理解它們是如何實現的。
對於像以太坊這樣的公共區塊鏈，有時會使用 Layer 2 (L2) 來允許更快、更便宜和更多的交易。從高層次來看，你將如何使用 ZKP 設計一個 L2？解釋你看到的一些挑战。研究現有解決方案以更好地理解它們是如何實現的。## 結論

在本教程介紹中，我們熟悉了如何從頭开始編寫和修改基本的零知識證明（ZKPs）。我們設置了編程環境並編寫了一個基本電路。然後我們進行了可信設置，創建並驗證了證明。我們識別了一些問題並改進了電路，確保測試我們的更改。之後，我們使用哈希函數和承諾實現了一個基本的數字籤名方案。

我們還學習了足夠的技能和工具，以便能夠實現群體籤名，這在沒有零知識證明的情況下是很難實現的。

我希望你對編寫零知識證明所涉及的內容有了更好的心理模型，並對實際中的編輯-運行-調試周期有了更好的理解。這將爲你將來可能編寫的任何其他零知識證明程序打下良好的基礎，無論你最終使用什么技術棧。

致謝

感謝 Hanno Cornelius、Marc Köhlbrugge、Michelle Lai、lenilsonjr 和 Chih-Cheng Liang 閱讀草稿並提供反饋。

圖片

Bourbaki Congress 1938 - 未知，公有領域，通過 Wikimedia^[11]
Hartmann's Zebras - J. Huber，CC BY-SA 2.0，通過 Wikimedia^[12]
Trapdoor Spider - P.S. Foresman，公有領域，通過 [Wikimedia](https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Trapdoor_(PSF\ "Wikimedia").png)
Kingsley Lockbox - P.S. Foresman，公有領域，通過 Wikimedia^[13]

參考資料

[1] AI翻譯官: https://learnblockchain.cn/people/19584

[2] 翻譯小組: https://learnblockchain.cn/people/412

[3] learnblockchain.cn/article…: https://learnblockchain.cn/article/9178

[4] 零知識的友好介紹: https://learnblockchain.cn/article/6184

[5] git 倉庫: https://github.com/oskarth/zkintro-tutorial

[6]git 倉庫: https://github.com/oskarth/zkintro-tutorial

[7]這裏: https://docs.circom.io/getting-started/installation/

[8]zkrepl.dev: https://zkrepl.dev/

[9]官方文檔: https://docs.circom.io/circom-language/signals/

[10]友好的零知識證明介紹: https://learnblockchain.cn/article/6184

[11]Wikimedia: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Bourbaki_congress1938.png

[12]Wikimedia: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Hartmann_zebras_hobatereS.jpg

[13]Wikimedia: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Kingsley_lockbox.jpg

[14]AI 翻譯官: https://learnblockchain.cn/people/19584

[15]這裏: https://github.com/lbc-team/Pioneer/blob/master/translations/9178.md

[16]^2]: 參見 [聯邦黨人文集（維基百科）: https://en.wikipedia.org/wiki/The_Federalist_Papers#Authorship

[17]^3]: 參見 [Bourbaki（維基百科）: https://en.wikipedia.org/wiki/Nicolas_Bourbaki#Membership

[18]^8]: 這使得編寫約束相當具有挑战性，正如你可以想象的那樣。有關 Circom 中約束的更多詳細信息，請參見 [https://docs.circom.io/circom-language/constraint-generation/: https://docs.circom.io/circom-language/constraint-generation/

[19]^12]: 线性約束意味着它可以僅通過加法表示爲线性組合。這相當於使用常數進行乘法。需要注意的主要是线性約束比非线性約束更簡單。有關更多詳細信息，請參見 [約束生成: https://docs.circom.io/circom-language/constraint-generation/

[20]算術電路: https://docs.circom.io/background/background/#arithmetic-circuits

[21]^13]: 從數學上講，我們所做的是確保方程 Az * Bz = Cz 成立，其中 Z=(W,x,1)。A、B 和 C 是矩陣，W 是見證（私有輸入），x 是公共輸入/輸出。雖然知道這一點很有用，但編寫電路時並不需要理解這一點。有關更多詳細信息，請參見 [Rank-1 約束系統: https://docs.circom.io/background/background/#rank-1-constraint-system

[22]^15]: 正如在 友好的介紹 文章中提到的那樣，2016 年 Zcash 舉辦的儀式有一個很好的外行播客，你可以在 [這裏: https://radiolab.org/podcast/ceremony

[23]^17]: 我們稱之爲 1-out-of N 信任模型。還有許多其他信任模型；你最熟悉的可能是多數規則，即你信任大多數人做出正確的決定。這基本上就是民主和大多數投票的運作方式。 [↩: #user-content-fnref-17

[24]^22]: 也稱爲 _密碼學難度假設_。請參見 [計算難度假設 (維基百科): https://en.wikipedia.org/wiki/Computational_hardness_assumption#Common_cryptographic_hardness_assumptions

[25]^23]: 有關更多信息，請參見 [https://en.wikipedia.org/wiki/Integer_factorization: https://en.wikipedia.org/wiki/Integer_factorization

[26]^24]: 雖然我們可以添加 _asserts_，但這些實際上不是約束，僅用於清理輸入。有關其工作原理，請參見 [https://docs.circom.io/circom-language/code-quality/code-assertion/: https://docs.circom.io/circom-language/code-quality/code-assertion/

[27]https://www.chainsecurity.com/blog/circom-assertions-misconceptions-and-deceptions: https://www.chainsecurity.com/blog/circom-assertions-misconceptions-and-deceptions

[28]^25]: 這份由 0xPARC 提供的資源非常出色，如果你想深入了解編寫 (Circom) 電路的藝術： [https://learn.0xparc.org/materials/circom/learning-group-1/circom-1/: https://learn.0xparc.org/materials/circom/learning-group-1/circom-1/

[29]^26]: 由於編寫約束的性質，這種情況經常出現。請參見 [https://en.wikipedia.org/wiki/Truth_table: https://en.wikipedia.org/wiki/Truth_table

[30]^27]: 有關 circomlib 的更多信息，請參見 [https://github.com/iden3/circomlib: https://github.com/iden3/circomlib

[31]^28]: 請參見 [https://github.com/iden3/circomlib/blob/master/circuits/comparators.circom: https://github.com/iden3/circomlib/blob/master/circuits/comparators.circom

[32]^29]: 人們通常在項目之間共享這些 ptau 文件以提高安全性。有關詳細信息，請參見 [https://github.com/privacy-scaling-explorations/perpetualpowersoftau: https://github.com/privacy-scaling-explorations/perpetualpowersoftau

[33]https://github.com/iden3/snarkjs: https://github.com/iden3/snarkjs

[34]^30]: 這裏的梯子代表某種值，使我們能夠以相反的“困難”方式進行。另一種思考方式是將其視爲一個掛鎖。你可以輕松鎖定它，但很難解鎖，除非你有鑰匙。陷門函數也有更正式的定義，請參見 [https://en.wikipedia.org/wiki/Trapdoor_function: https://en.wikipedia.org/wiki/Trapdoor_function

[35]^31]: 來自維基百科的截圖。請參見 [ECDSA (維基百科): https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_Curve_Digital_Signature_Algorithm#Signature_verification_algorithm

[36]^38]: 在現實世界的數字籤名方案中，當多個消息交換時，我們可能還希望引入一個加密隨機數。這是爲了避免重放攻擊，即某人可以在稍後時間重用相同的籤名。請參見 [https://en.wikipedia.org/wiki/Replay_attack: https://en.wikipedia.org/wiki/Replay_attack

[37]^40]: 在 ZKP 中實現群籤名的靈感來自 0xPARC，請參見 [https://0xparc.org/blog/zk-group-sigs: https://0xparc.org/blog/zk-group-sigs

[38]^41]: 請參見 [https://docs.circom.io/circom-language/control-flow/: https://docs.circom.io/circom-language/control-flow/

[39]^42]: 相比之下，實施群籤名的論文如 [https://eprint.iacr.org/2015/043.pdf: https://eprint.iacr.org/2015/043.pdf

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標題：零知識證明編程——用Circom、Groth16構建證明及驗證

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